Amsterdam – Manchester United meraih hasil positif di leg 1 Babak 32 Besar Liga Europa kontra Ajax Amsterdam. Bermain di kandang lawan, The Red Devils menang dua gol tanpa balas.

Dalam laga yang dihelat di Amsterdam Arena, Jumat (17/2/2012) dinihari WIB, MU memperoleh gol-golnya di babak kedua lewat Ashley Young dan Javier ‘Chicharito’ Hernandez.

Dengan keunggulan 2-0 ini, langkah MU menuju babak 16 besar pun kian lapang karena leg kedua akan dimainkan di Old Trafford.

Jalannya pertandingan

Sepanjang 30 menit laga berlangsung , tak ada peluang berbahaya dari kedua tim dengan MU lebih mendominasi jalannya laga.

Barulah di menit ke-33 ketika Siem De Jong mendapat bola di lini tengah. Ia pun lantas melepaskan sepakan keras yang masih bisa ditepis David De Gea.

Babak pertama pun berakhir dengan skor 0-0 setelah klaim penalti oleh para pemain Ajax usai Miralem Sulejmani dijatuhkan lawan tak digubris wasit.

Semenit setelah restart, MU punya peluang lewat Nani yang melepaskan crossing. Tapi bola malah mengarah langsung ke gawang dan Keneth Vermeer dengan sigap menepisnya.

Pada menit ke-53 umpan silang Nani menemui Wayne Rooney di kotak penalti dan diteruskan lewat sebuah tendangan. Bola berhasil ditepis Vermeer.

Young! Sejam laga berjalan akhirnya ia mampu membawa MU unggul. Diawali crossing mendatar Nani dari sayap kanan, Young mendapat bola. Ia pun mengecoh Vurnon Anita sebelum menyepak bola ke dalam gawang. Ajax 0 MU 1.

MU kembali mengancam gawang Vermeer ketika Nani di menit 63 melepaskan tembakan keras dari dalam kotak penalti dan bola masih melayang tipis di atas mistar.

Di menit 85 Chicharito menggandakan keunggulan timnya. Diawali kerja keras Antonio Valencia untuk merebut bola, ia pun mengoper kepada Chicharito yang lantas diteruskan kepada Rooney di sayap kiri.

Rooney tak egois dengan menyodorkan kembali bola ke Chicharito di tiang jauh. Dengan sekali sepakan keras, gawang Vermeer dibobolnya.

MU pun unggul 2-0 dan berakhir hingga 90 menit laga berakhir.

Susunan pemain

Ajax: Vermeer, Anita, Alderweireld, Vertonghen, Koppers (Boilesen 63′), De Jong, Aissati, Eriksen, Ozbiliz (Lukoki 79′), Bulykin (Van Rhijn 60′), Sulejmani

Man Utd: De Gea, Jones, Ferdinand, Evans, Fabio Da Silva, Nani, Carrick, Cleverley (Scholes 61′), Young (Valencia 70′), Rooney, Hernandez

detiksport

selir hati

Cetak 211 Gol, Totti Torehkan Rekor Baru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Roma – Francesco Totti menorehkan rekor baru lewat dua gol yang ia cetak di laga kontra Cesena. Ia ini kini tercatat sebagai pencetak gol terbanyak untuk satu klub di pentas Serie A dengan 211 gol.

Saat AS Roma menjamu Cesena, Minggu (22/1/2012) dinihari WIB, Totti sudah membawa Giallorossi unggul saat laga baru berjalan satu menit. Kapten Roma ini kemudian mencetak gol keduanya tujuh menit kemudian.

Gol keduanya itu merupakan gol ke-211 Totti selama berseragam Roma sejak tahun 1992. Dengan jumlah 211 gol, Totti kini mencatatkan diri sebagai pencetak gol terbanyak untuk satu klub di ajang Serie A.

Capaian pesebakbola 35 tahun itu melampaui rekor yang sebelumnya dipegang oleh Gunnar Nordahl. Nordahl membukukan 210 gol selama membela AC Milan di tahun 1949–1956.

“Inilah yang selalu aku inginkan: bermain untuk satu klub dan memecahkan rekor demi rekor,” ujar Totti kepada Sky Sport Italia.

“Di samping itu, lebih indah mencetak gol di depan para fans. Kami melihat Roma yang sempurna, sebuah tim yang sudah menemukan jalannya dan ingin terus seperti ini.”

Dengan jumlah 211 gol, Totti kini menduduki peringkat empat pencetak gol terbanyak sepanjang masa di Serie A. Rekor pencetak gol terbanyak di Serie A masih dipegang oleh Silvio Piola dengan 274 gol.

Cetak 211 Gol, Totti Torehkan Rekor Baru

sumber:detik

Roma Hantam Cesena 5-1

Roma – AS Roma meraih hasil maksimal saat menghadapi Cesena. Tim besutan Luis Enrique itu menang telak dengan skor 5-1.

Menjamu Cesena di Olimpico, Minggu (22/1/2012) dinihari WIB, tuan rumah langsung unggul saat laga baru berjalan satu menit. Menerima umpan tumit Erik Lamela, Francesco Totti melepaskan sepakan yang merobek gawang Francesco Antonioli.

Tujuh menit berselang, kolaborasi Totti-Lamela kembali menghadirkan gol bagi I Lupi. Umpan Lamela dari sisi kiri berhasil diselesaikan dengan baik oleh kapten Roma itu.

Tak sampai satu menit usai gol Totti, Roma kembali mencetak gol. Kali ini Fabio Borini membawa Roma unggul 3-0 di paruh pertama.

Cesena sempat memperkecil ketinggalan lewat Citadin Eder di menit 58. Namun Roma kembali menjauh usai Juan mencetak gol di menit 62.

Delapan menit kemudian giliran Miralem Pjanic yang mencatatkan namanya di papan skor dan membawa Roma unggul 5-1. Hingga peluit panjang berbunyi skor tak berubah untuk keunggulan Roma.

Kemenangan ini membawa Giallorossi naik ke peringkat enam dengan 31 poin dan masih menyimpan satu pertandingan. Sementara Cesena masih tertahan di posisi 18 dengan 15 poin.

Susunan Pemain:

AS Roma: Stekelenburg; Rosi, Juan (Kjaer 74′), Heinze, Taddei; Gago, Greco, Pjanic; Totti (Viviani 65′), Lamela (Bojan 54′), Borini

Cesena: Antonioli; Comotto, Rodriguez, Von Bergen, Lauro (Moras 67′); Ceccarelli, Guana, Parolo, Colucci (Benalouane 77′); Mutu (Candreva 45′), Eder

sumber:detik

PENERAPAN STRATEGI PEMBELAJARAN PROBLEM BASED LEARNING

Problem Based Learning

 

Seorang ibu dengan seorang puteri usia 6 tahun mendapat warisan sebesar Rp 10.000.000,00 sehubungan dengan meninggalnya suami.  Bantu ibu tersebut untuk merencanakan penggunaan uang tersebut secara maksimal sehingga si ibu dapat membiayai puterinya masuk perguruan tinggi dengan kualitas yang baik.

 

Fase 1 Apa yang diketahui?

  • Jenjang Pendidikan Selama 16 tahun

–         SD/MI= 6 tahun

–         SMP/MTs= 3 tahun

–         SMA/SMK/MA= 3 tahun

–         PT= 4 tahun

  • Dana yang tersedia adalah Rp10.000.000,00

 

 

Fase 2 Apa yang tidak diketahui?

  • Biaya pendidikan
  • Punya tidaknya rumah
  • Punya tidaknya pekerjaan
  • Punya tidaknya saudara
  • Punya tidaknya harta benda

 

Fase  3  Apa yang harus dilakukan ?

Ibu menyewa rumah selama 1 tahun harga 6 juta dicicil 4 kali. Dia membayar biaya masuk sekolah anak pada jenjang SD dan membeli perlengkapan sekolah anak. Kemudian ibu membuka suatu usaha dan biaya hidup dari sisa uang yang telah dikeluarkan.

Pengeluaran SD

Kelas Kebutuhan Pengeluaran
Kelas 1 Biaya pendaftaran Rp 50.000,00
  Biaya logistik / penunjang Rp 150.000,00
  Seragam Rp 200.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 360.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 50.000,00
     
Kelas 2 Biaya logistik / penunjang Rp 160.000,00
  Seragam Rp 210.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 372.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 60.000,00
     
Kelas 3 Biaya logistik / penunjang Rp 170.000,00
  Seragam Rp 215.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 372.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 65.000,00
     
Kelas 4 Biaya logistik / penunjang Rp 175.000,00
  Seragam Rp 220.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 372.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 60.000,00
     
Kelas 5 Biaya logistik / penunjang  Rp 180.000,00
  Seragam Rp 210.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 372.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 60.000,00
     
Kelas 6 Biaya logistik / penunjang Rp 200.000,00
  Seragam Rp 160.000,00
  Ekstrakulikuler Rp 400.000,00
  Kegiatan lain-lain Rp 60.000,00
  Biaya perpisahan Rp 100.000
     
total   Rp 4.998.000,00

 

Pengeluaran SMP

Kebutuhan Pengeluaran Keterangan
Uang gedung Rp 700.000,00  
Seragam sekolah Rp 450.000,00  
SPP Gratis  
Sepatu + tas Rp 300.000,00  
Alat tulis Rp 300.000,00  
Uang saku + transportasi Rp 6.000,00 x 360 x 3 menjadi Rp 6.480.000,00  
Biaya praktek Rp 60.000,00 Elektronika
Biaya les Rp 150.000,00  
Perpisahan kelas tiga Rp 250.000,00  
Study tour Rp 350.000.00 Jakarta
Lain-lain Rp 100.000,00  
Total Rp 9.140.000,00  

 

Pengeluaran SMA

Kebutuhan Pengeluaran Keterangan
Uang gedung Rp 1.000.000,00  
Seragam sekolah Rp 600.000,00  
SPP Rp 2.880.000,00  
Sepatu + tas Rp 400.000,00  
Alat tulis Rp 400.000,00  
Uang saku + transportasi Rp 8.000 x 360 x 3 menjadi Rp 8.640.000,00  
Biaya praktek Rp 150.000,00 Biologi, Fisika
Perpisahan kelastiga Rp 300.000,00  
Study tour Rp 550.000,00 Bali
Lain-lain Rp 150.000,00  
Total Rp 15.250.000,00  

 

 

 

Pengeluaran Kuliah

Kebutuhan Pengeluaran Keterangan
Pendaftaran Rp 150.000,00  
Uang pembangunan Rp 5.000.000,00  
SPP Rp 2.000.000 per semester x 8 semester

= Rp 16.000.000,00

 
Pakaian untuk kuliah Rp 400.000,00  
Buku dan peralatan kuliah Rp 200.000,00 x 8 semester

= Rp 1.600.000,00

 
HP Rp 1.000.000,00 Nokia
Laptop Rp 4.500.000,00 Compaq
Kendaraan bermotor Rp 10.000.000,00 Honda supra
Kost Rp 1.000.000 per tahun x 4 tahun

= Rp 4.000.000,00

 
Uang bulanan Rp 600.000,00 x 12 x 4

= Rp 28.8000.000

 
Study tour Rp 1.000.000,00  
Pulsa Rp 30.000,00 x 12 x 4

= Rp 1.440.000,00

 
Skripsi Rp 1.000.000,00  
Wisuda Rp 1.500.000,00  
PPL Rp 500.000,00  
Sepatu dan sandal Rp 100.000,00 x 4

= Rp 400.000,00

 
Biaya lain-lain Rp 1.000.000,00  
Total Rp 78.290.000,00  

 

Kebutuhan sehari-hari

Kebutuhan Pengeluaran Keterangan
Makan Rp 15.000,00 per hari x 30 x 12 x 16 = Rp 86.400.000,00 4 sehat 5 sempurna
Gas Rp 13.500,00 x 12 x 16

= Rp 2.592.000,00

 
MCK Rp 20.000,00 x 12 x 16

= Rp 3.840.000,00

 
Listrik Rp 50.000,00 x 12 x 16

= Rp 9.600.000,00

 
Air Rp 20.000,00 x 12 x 16

= Rp 3.840.000,00

PAM
Pakaian Rp 300.000,00 x 16

= Rp 4.800.000,00

 
Transportasi Rp 5.000,00 x 30 x 12 x 16

= Rp 28.800.000,00

Motor
Lain-lain Rp 3.000.000,00  
Total Rp 142.872.000,00  

 

 

 

Pengelolaan Uang untuk Usaha

Modal untuk Jahit Rp 2.500.00,00

Modal untuk Toko kelontong Rp 5.000.000,00

Sewa rumah Rp 6.000.000,00 per tahun dicicil empat kali.

Sisa modal Rp 2.500.00,00, yang Rp 1.500.000,00 digunakan sebagai cicilan pertama sewa rumah.

Jadi sisa modal Rp 1000.000,00

Penghasilan per bulan

Dari Usaha Jahit = Rp 30.000,00 per hari x 30 = Rp 900.000,00

Dari Usaha Toko kelontong = Rp 30.000,00 per hari x 30 = Rp 900.000,00

Total pemasukan untuk bulan pertama = Usaha jahit + Usaha toko kelontong

= Rp 900.000,00 + Rp 900.000,00

= Rp 1.800.000,00

Penghasilan per tiga bulan pertama

Penghasilan per bulan x 3 = Rp 1.800.000,00 per bulan x 3 = Rp 5.400.000,00

Penghasilan tiga bulan kedua

(Penghasilan per bualan x 3) – Rp 1.500.000,00

(Rp 1.800.000,00 per bulan x 3) – Rp 1.500.000,00

Rp 5.400.000,00 – Rp 1.500.000,00

Rp 3.900.000,00

Keterangan : Rp 1.500.000,00 di sini adalah biaya yang di gunakan untuk cicilan ke-2 sewa rumah

Penghasilan tahun pertama

Penghasilan tiga bulan pertama + (penghasilan tiga bulan kedua x 3)

= Rp 5.400.000,00 + (Rp3.900.000,00 x 3)

= Rp 5.400.000,00 + Rp 11.700.000,00

= Rp 17.100.000,00

Penghasilan tahun kedua

Penghasilan tahun pertama – Rp 1.500.000,00

= Rp 17.100.000,00 – Rp 1.500.000,00

= Rp 15.600.000,00

Keterangan : Rp 1.500.000,00 di sini adalah biaya yang di gunakan untuk cicilan pertama sewa rumah. Karena di awal tahun cicilan pertama menggunakan sisa uang dari modal sehingga dalam setiap tahunnya di kurangi Rp 1.500.000,00 untuk cicilan pertama.

 

Penghasilan selama 15 tahun

Penghasilan tahun kedua x 15

= Rp 15.600.000,00 x 15

= Rp 234.000.000,00

Total keseluruhan selama 16 tahun

Penghasilan selama 15 tahun + penghasilan tahun pertama

= Rp 234.000.000,00 + Rp 17.100.000,00

= Rp 251.100.000,00

 

Total pengeluaranselama 16 tahun

SD =  Rp4.998.000,00

SMP = Rp 9.140.000,00

SMA = Rp 15.250.000,00

Kuliah = Rp 78.290.000,00

Kebutuhan sehari-hari = Rp 142.872.000,00

Jumlah Pengeluaran seluruhannya =Rp 250.550.000,00

Sisa uang yang masih dimiliki = Rp 251.100.000,00 – Rp 250.550.000,00 = Rp 550.000,00

 

Kesimpulan

Dari persoalan diatas kita dapat mengetahui aplikasi dari materi operasi hitung yang digunakan dalam perhitungan sehari – hari, dalam jangka waktu yang panjang maupun pendek.

LAPORAN WAWANCARA MTsN 1 GEMOLONG INOVASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

 

  1. LATAR BELAKANG MASALAH

Saat ini, di kalangan guru, senantiasa berdengung istilah pembelajaran inovatif. Di mana-mana, inovatif menjadi barang yang diburu guru untuk diketahui, dipelajari, dan dipraktikkan di kelas. Seolah-olah, tanpa inovatif, dunia guru tidak harum namanya. Pembelajaran inovatif yang dikemas oleh guru atau instruktur lainnya yang merupakan wujud gagasan atau teknik yang dipandang baru agar mampu memfasilitasi siswa untuk memperoleh kemajuan dalam proses dan hasil belajar.

Pembelajaran inovatif tersebut, tampak di dalamnya terkandung makna pembaharuan. Gagasan pembaharuan muncul sebagai akibat seseorang merasakan adanya anomali atau krisis pada paradigma yang dianutnya dalam memecahkan masalah belajar. Oleh sebab itu, dibutuhkan paradigma baru yang diyakini mampu memecahkan masalah tersebut. Perubahan paradigma seyogyanya diakomodasi oleh semua manusia, karena manusia sebagai individu adalah makhluk kreatif. Namun, perubahan sering dianggap sebagai pengganggu kenyamanan diri,karena pada hakikatnya seseorang secara alamiah lebih mudah terjangkit virus rutinitas.

Padahal, di dalam pendidikan, banyak kalangan mengakui bahwa pekerjaan rutin cenderung tidak merangsang, membuat pendidikan ketinggalan zaman, dan akan mengancam eksistensi negara dalam perjuangan dan persaingan hidup. Rutinitas kinerja dapat bersumber dari beberapa faktor yang dianggap menghambat inovasi. Faktor-faktor yang dapat dikategorikan sebagai penghambat inovasi, adalah: keunggulan inovasi relatif sulit untuk dijelaskan dan dibuktikan, sering dianggap time dan cost consumming, pelaksanaan cenderung partial dan pemahaman bagi para praktisi terhadap inovasi. Inovasi pembelajaran muncul dari perubahan paradigma pembelajaran. Perubahan paradigma pembelajaran berawal dari hasil refleksi terhadap eksistensi paradigma lama yang mengalami anomali menuju paradigma baru yang dihipotesiskan mampu memecahkan masalah.

Sebenarnya, pembelajaran inovatif itu apa? Inovatif yang berarti new ideas or techniques, merupakan kata sifat dari inovasi yang berarti pembaharuan. Pembelajaran, merupakan terjemahan dari learning yang artinya belajar, atau pembelajaran. Jadi, pembelajaran inovatif adalah pembelajaran yang dikemas oleh pebelajar atas dorongan gagasan barunya yang merupakan produk dari learning how to learn untuk melakukan langkah-langkah belajar, sehingga memperoleh kemajuan hasil belajar.
 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

  1. Mekanisme/Langkah-Langkah

Pembelajaran disebut efektif bila dapat memfasilitasi peserta didik untuk mencapai tujuan pembelajaran yang ditentukan. Untuk itu pengajar perlu menyusun strategi yang sesuai dengan karakteristik peserta didik dan mampu membuatnya mencapai kompetensi yang di tentukan dalam tujuan pembelajaran.

Metode yang digunakan dalam Inovasi Pembelajaran disini Student Teams Achievement Divisions (STAD):

  1. Siswa dibagi menjadi kelompok-kelompok kecil ( 4-6 orang ) campuran menurut prestasi, jenis kelamin dan lain-lain
  2. Guru mengajarkan materi
  3. Guru memberi tugas kelompok yang dikerjakan anggota kelompok

Anggota yang sudah faham menjelaskan kepada anggota lainnya sampai semuanya mengerti

  1. Guru memberikan pertanyaan kepada seluruh siswa ( individual ) saat menjawab tidak boleh saling membantu
  2. Memberikan evaluasi
  3. Kesimpulan
    1. Latar belakang masalah
    2. Mengajarkan siswa berdiskusi
    3. Mengajarkan siswa bagaimana usaha mengetahui cara mentransfer ilmu pengetahuan kepada orang lain
    4. Guru menyadari memiliki kelemahan, mungkin ada siswa yang lebih mudah mengerti saat dijelaskan temannya dari pada oleh guru
    5. Menjalin kerjasama/kekompakan dalam kelompok
    6. Mengajak siswa berdiskusi antar sesama
      1. Hasil Pelaksanaan Pembelajaran yang inovatif di MTsN 1 Gemolong
    7. Terdapat siswa yang faham menjadi lebih faham dan berani berbicara untuk menjelaskan pendapat/jawaban tugas guru (soal-soal)
    8. Terdapat siswa yang semula belum faham menjadi lebih faham terhadap materi, terbukti ketika diberi soal setiap siswa dapat mengerjakannya
    9. Guru merasa sangat terbantu oleh siswa dalam rangka memahamkan siswa-siswa yang merasa kesulitan menerima penjelasan guru

 

 

BAB III

PENUTUP

 

  1. KESIMPULAN

Menurut hasil wawancara dengan guru matematika di MTsN 1 Gemolong dapat disimpulkan bahwa :

  1. Pembelajaran matematika yang inovtif adalah pembelajaran yang menyenangkan dalam matematika, dengan menggunakan media yang bersifat konkrit dalam kehidupan sehari-sehari untuk mencapai tujuan pembelajaran.
  2. Dilaksanakannya pembelajaran yang inovatif bertujuan untuk memudahkan siswa dalam memahami materi.
  3. Hasil pelaksanaan dari pembelajaran yang inovatif adalah peningkatan motivasi dan prestasi belajar siswa terhadap pembelajaran matematika.
  4. SARAN
    1. Sebagai seorang guru harus kreatif dalam membuat dan memilih strategi pembelajaran yang akan digunakan dalam pembelajaran.
    2. Sebagai seorang guru harus dapat meningkatkan komunikasi pada peserta didik  dalam setiap pembelajaran matematika.

Ayah

Suatu hari suami saya rapat dengan beberapa rekan bisnisnya yang kebetulan mereka sudah mendekati usia 60 tahun dan dikaruniai beberapa orang cucu. Di sesela pembicaraan serius tentang bisnis, para kakek yang masih aktif itu sempat juga berbagi pengalaman tentang kehidupan keluarga di masa senja usia.

Suami saya yang kebetulan paling muda dan masih mempunyai anak balita, mendapatkan pelajaran yang sangat berharga, dan untuk itu saya merasa berterima kasih kepada rekan-rekan bisnisnya tersebut. Mengapa? Inilah kira-kira kisah mereka.

Salah satu dari mereka kebetulan akan ke Bali untuk urusan bisnis, dan minta tolong diatur tiket kepulangannya melalui Surabaya karena akan singgah ke rumah anaknya yang bekerja di sana. Di situlah awal pembicaraan “menyimpang” dimulai. Ia mengeluh. “Susah anak saya ini, masak sih untuk bertemu bapaknya saja sulitnya bukan main. Kalau saya telepon dulu, pasti nanti dia akan berkata ‘jangan datang sekarang karena masih banyak urusan. Lebih baik datang saja tiba-tiba’. Saya sering kecewa,tapi biarlah, yang penting saya bisa lihat cucu.”

Kemudian itu ditimpali oleh rekan yang lain. “Kalau Anda jarang bertemu dengan anak karena beda kota, itu masih dapat dimengerti,” katanya. “Anak saya yang tinggal satu kota saja, harus pakai perjanjian segala kalau ingin bertemu.”

“Saya dan istri kadang-kadang merasa begitu kesepian, karena kedua anak saya jarang berkunjung, paling-paling hanya telepon.”

Ada lagi yang berbagi kesedihannya, ketika ia dan istrinya mengengok anak laki-lakinya, yang istrinya baru melahirkan di salah satu kota di Amerika. Ketika sampai dan baru saja memasuki rumah anaknya, sang anak sudah bertanya, “Kapan Ayah dan Ibu kembali ke Indonesia?” “Bayangkan! Kami menempuh perjalanan hampir dua hari, belum sempat istirahat sudah ditanya kapan pulang.”

Apa yang digambarkan suami saya tentang mereka, adalah rasa kegetiran dan kesepian yang tengah melanda mereka di hari tua. Padahal mereka adalah para profesional yang begitu berhasil dalam kariernya.

Suami saya bertanya, “Apakah suatu saat kita juga akan mengalami hidup seperti mereka?” Untuk menjawab itu, saya sodorkan kepada suami saya sebuah syair lagu berjudul “Cat’s In the Cradle” karya Harry Chapin. Beberapa cuplikan syair tersebut saya terjemahkan secara bebas ke dalam bahasa Indonesia agar relevan untuk konteks Indonesia.

“…. Serasa kemarin ketika anakku lahir dengan penuh berkah. Aku harus siap untuknya, hingga sibuk aku mencari nafkah sampai tak ingat kapan pertama kali ia belajar melangkah. Pun kapan ia belajar bicara dan mulai lucu bertingkah

Namun aku tahu betul ia pernah berkata, “Aku akan menjadi seperti Ayah kelak. Ya betul aku ingin seperti Ayah kelak.”

“Ayah, jam berapa nanti pulang?”

“Aku tak tahu, Nak. Tapi kita akan punya waktu bersama nanti, dan tentu saja kita akan mempunyai waktu indah bersama.”

Ketika saat anakku ulang tahun yang kesepuluh; Ia berkata, “Terima kasih atas hadiah bolanya, Ayah. Wah… kita bisa main bola bersama. Ajari aku bagaimana cara melempar bola, Yah?”

“Tentu saja Nak, tetapi jangan sekarang, Ayah banyak pekerjaan sekarang.”

Ia hanya berkata, “Oh ….” Ia melangkah pergi, tetapi senyumnya tidak hilang, seraya berkata, “Aku akan seperti ayahku, Ya, betul aku akan sepertinya.”

“Ayah, jam berapa nanti pulang?”

“Aku tak tahu Nak, tetapi kita akan punya waktu bersama nanti, dan tentu saja kita akan mempunyai waktu indah bersama.”

Suatu saat anakku pulang dari kuliah, begitu gagahnya ia, dan aku memanggilnya, “Nak, aku bangga sekali denganmu, duduklah sebentar dengan Ayah.”

Dia menengok sebentar sambil tersenyum, “Ayah, yang aku perlu sekarang adalah meminjam mobil, mana kuncinya? Sampai bertemu nanti Ayah, aku ada janji dengan kawan.”

“Nak, jam berapa nanti pulang?”

“Aku tak tahu Yah, tetapi kita akan punya waktu bersama nanti dan tentu saja kita akan mempunyai waktu indah bersama.”

Aku sudah lama pensiun, dan anakku sudah lama pergi dari rumah. Suatu saat aku meneleponnya. “Aku ingin bertemu denganmu, Nak.” Ia bilang, “Tentu saja aku senang bertemu Ayah, tetapi sekarang aku tidak ada waktu. Ayah tahu, pekerjaanku begitu menyita waktu, dan anak-anak sekarang sedang flu. Tetapi senang bisa berbicara dengan Ayah, betul aku senang mendengar suara Ayah.”

Ketika ia menutup teleponnya, aku sekarang menyadari: dia tumbuh besar persis seperti aku; ah betul, ternyata anakku persis seperti aku…”

Rupanya prinsip investasi berlaku pula pada keluarga dan anak. Seorang investor yang berhasil mendapatkan return yang tinggi, adalah yang selalu peduli dan senjaga apa yang diinvestasikannya. Saya sering melantunkan cuplikan syair tersebut dalam bahasa aslinya,

“I’m gonna be like you, Dad, you know I’m gonna be like you…” kapan saja ketika suami saya sudah mulai melampaui batas kesibukannya. Ternyata cukup manjur. “Lutfi … ayo kita kasih makan kelinci,” katanya kepada anak kami yang berusia 3 tahun…

Himpunan (set)

  • Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

 

  • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

 

Cara Penyajian Himpunan

 

1. Enumerasi

 

 

Contoh 1.

–  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

–  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

–  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

–  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

–  C  = {a, {a}, {{a}} }

–  K  = { {} }

–  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, …, 100 }

–  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

 

 

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K  = {{}}

maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R

c Ï R

{} Î K

{} Ï R

Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka

a Î P1

a Ï P2

P1 Î P2

P1 Ï P3

P2 Î P3

 

 

2. Simbol-simbol Baku

 

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, … }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, … }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

 

 

  • Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

 

 

3.  Notasi Pembentuk Himpunan

 

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }

 

 

Contoh 4.

(i)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

atau

 A  =  { x | P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

 

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

 

 

4. Diagram Venn

 

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

 

 

 

 

Kardinalitas

  • Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
  • Notasi: n(A) atau êA ê

 

Contoh 6.

(i)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3

Himpunan Kosong

  • Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
  • Notasi : Æ atau {}

 

 

Contoh 7.

(i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

 

  • himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
  • himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
  • {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

 

 

Himpunan Bagian (Subset)

  • Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
  • Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
  • Notasi: A  Í B

 

  • Diagram Venn:

                                               

 

 

Contoh 8.

(i)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B A.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C

  • A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

 

  • A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)         A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

 

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

 

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

 

 

Himpunan yang Sama

  • A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
  • A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

 

  • Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A

 

 

Contoh 9.

(i)   Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii)  Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

 

Himpunan yang Ekivalen

 

  • Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

 

  • Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

 

 

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4

 

Himpunan Saling Lepas

  • Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

 

  • Notasi : A // B

 

  • Diagram Venn:

 

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, … }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

 

  • Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

 

  • Notasi : P(A) atau 2A

 

  • Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

 

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.

 

Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

 

  • Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

 

 

 

 

Contoh 14.

(i)     Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A Ç B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya:  A // B

b.  Gabungan (union)

 

  • Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }

 

 

 

Contoh 15.

(i)  Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

c.  Komplemen (complement)

 

  • Notasi :  = { x | x Î U, x Ï A }

 

 

 

 

 

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },

(i)              jika A = {1, 3, 7, 9}, maka  = {2, 4, 6, 8}

(ii)            jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }

 

Contoh 17.  Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

 

(i)    “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)

 

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

 

(iii)        “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à

 

 

d. Selisih (difference)

 

  • Notasi : AB = { x | x Î A dan x Ï B } =  A Ç

 

 

 

 

 

Contoh 18.

(i)   Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka AB = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan BA =

(ii)  {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

 

e.  Beda Setangkup (Symmetric Difference)

 

  • Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (AB) È (BA)

 

 

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

 

 

 

Contoh 20.  Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i)     “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii)  “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii)   “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)

TEOREMA 2.  Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A Å B = B Å A                                   (hukum komutatif)

(b) (A Å B )  Å C = A Å (B Å C )            (hukum asosiatif)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f.  Perkalian Kartesian (cartesian product)

 

  • Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

 

 

Contoh 20.

(i)   Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii)  Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar

 

Catatan:

  1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
  2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).
  3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A  dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4.    Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A =  Æ

Contoh 21.  Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ)          (b) Æ ´ P(Æ)      (c) {Æ}´ P(Æ)    (d) P(P({3}))

Penyelesaian:

(a) P(Æ) = {Æ}

(b)Æ ´ P(Æ) = Æ   (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)

(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))

(d)   P(P({3})) = P({ Æ,  {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }

 

 

Perampatan Operasi Himpunan

 

 

 

Contoh 22.

 

(i) A (B1B2  … Bn) = (A B1) (A B2) … (A Bn)

 

 

(ii) Misalkan A = {1, 2},   B = {a, b}, dan C = {a, b}, maka

A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }

 

 

 

 

 

 

Hukum-hukum Himpunan

 

1.  Hukum identitas:

A = A

A U = A

 

2.  Hukum null/dominasi:

A =

A U = U

 

3.  Hukum komplemen:

A  = U

A  =

4.  Hukum idempoten:

A A = A

A A = A

 

5.  Hukum involusi:

= A

 

6.  Hukum penyerapan (absorpsi):

A (A B) = A

A (A B) = A

7.  Hukum komutatif:

A B = B A

A B = B A

 

8.  Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

 

9.  Hukum distributif:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

 

10.    Hukum De Morgan:

=

=

  1. Hukum 0/1

= U

= Æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prinsip Dualitas

  • Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

–   mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

–         pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

–         bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

 

(b) di Inggris,

–         mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

–         pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

–         bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

 

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

 

 

  • (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti   ® ,  ® ,  ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

 

 

1.  Hukum identitas:

A = A

 

Dualnya:

A U  = A

2.   Hukum null/dominasi:

A =

 

Dualnya:

A U = U

 

3.  Hukum komplemen:

A  = U

 

Dualnya:

A =

 

4.  Hukum idempoten:

A A = A

 

Dualnya:

A A = A

 

5.  Hukum penyerapan:

A (A B) = A

 

Dualnya:

A (A B) = A

6.  Hukum komutatif:

A B = B A

 

Dualnya:

A B = B A

7.  Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

 

Dualnya:

A (B C) = (A B) C

 

8.  Hukum distributif:

A (B C)=(A B) (A C)

 

Dualnya:

A (B C) = (A B) (A C)

9.  Hukum De Morgan:

=

Dualnya:

=

10.  Hukum 0/1

= U

Dualnya:

= Æ

 

Contoh 23. Dual dari (A B) (A ) = A adalah

(A B) (A ) = A.

 

 

 

 

Prinsip Inklusi-Eksklusi

 

Untuk dua himpunan A dan B:

 

½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½

 

½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½

 

 

Contoh 24.  Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A Ç B =  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

 

yang ditanyakan adalah ½A È B½.

 

½A½ = ë100/3û  = 33,

½B½ = ë100/5û  = 20,

½A Ç B½ = ë100/15û  = 6

 

½A È B½ = ½A½ + ½B½ –  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47

 

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

 

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

 

½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ –  ½A Ç B½ –

½A Ç C½ –  ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½

 

 

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

½A1 È A2 È … È Ar½ = ½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ +

½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … +

(-1)r-1 ½A1 Ç A2 Ç … Ç Ar½

 

Partisi

  • Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

(a)             A1 È A2 È … = A, dan

(b)            Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j

 

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

Himpunan Ganda

  • Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

  • Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.  Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

 

  • Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

 

  • Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

 

  1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

P Q = { a, a, a, bc, c, d, d }

 

 

  1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

P Q = { a, a, c }

 

 

3.  P – Q adalah suatu  multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = {  a, a, b, b, b, c,

c, d, d, f } maka PQ  = { a, e }

 

 

  1. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

 

 

 

Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

  • Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
  • Pernyataan dapat berupa:
  1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

  1. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

 

 

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

 

Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti:

 

 

A Ç (B È C)                             (A Ç B) È (A Ç C)

 

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

 

  • Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
  • Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn  tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

 

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

 

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

 

Bukti:

 

A

B

C

B È C

A Ç (B È C)

A Ç B

A Ç C

(A Ç B) È (A Ç C)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

 

 

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç )  = A Ç (B È )      (Hukum distributif)

= A Ç U                   (Hukum komplemen)

= A                            (Hukum identitas)

Contoh 29.  Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (BA) = A È B

Bukti:

A È (BA)  = A È (B Ç ) (Definisi operasi selisih)

= (A È B) Ç (A È )     (Hukum distributif)

= (A È B) Ç U                (Hukum komplemen)

= A È B                           (Hukum identitas)

 

Contoh 30.  Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i)  A È ( Ç B) = A È B    dan

(ii)  A Ç ( È B) = A Ç B

Bukti:

(i)      A È ( Ç B)  = ( A È ) Ç (A Ç B)     (H. distributif)

=  U Ç  (A Ç B)                (H. komplemen)

A È B                            (H. identitas)

 

(ii)    adalah dual dari (i)

A Ç ( È B)  = (A Ç ) È  (A Ç B)     (H. distributif)

= Æ  È  (A Ç B)                (H. komplemen)

A Ç B                    (H. identitas)

 

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi 

  • Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

 

Contoh 31.  Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i)    Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).

Dari definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.

(ii)  Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B

 

Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena “x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .

 

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

  • Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

 

Contoh:

 

type

HurufBesar = ‘A’..‘Z’;  { enumerasi }

Huruf = set of HurufBesar;

var

HurufKu : Huruf;

 

 

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

 

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];

HurufKu:=[‘M’];

HurufKu:=[];         { himpunan kosong }

 

  • Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

 

 {gabungan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

 

{irisan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

 

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] – [‘C’, ‘D’, ‘E’];

 

  • Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

 

if ‘A’ in HurufKu then    …

  • Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

 

type

TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,

biMaximaze);

Huruf = set of TBoderIcon;

 

 

 

 

THE SEARCH FOR MEANINGFUL LIFE IN SIDNEY SHELDON’S MEMORIES OF MIDNIGHT: AN EXISTENTIALIST APPROACH

ABSTRACT

            The study deals with the search for meaningful life as reflected in Sidney Sheldon’s Memories of Midnight. This study aims at exposing the internal structure of the novel and exploring the philosophical values of human’s existence about searching the meaning of life.

            The primary data is taken from the novel itself while the secondary data are taken from deferent sources such as comments and criticism toward the novel. The method of data collection is library research. The approach uses is existentialist theory as a means of analysis. The technique of data collection is descriptive qualitative.

            The outcome of the study is as follows: firstly the structural elements of the novel present a good unity. The novel exposes the search for meaningful life as reflected by the major character that uses the power as a treatment to reach it. The theme of the novel concerns in the uncontrolled power that leads one to failure in searching for meaningful life. Secondly, the result of existentialist analysis shows that the novel represents one of the important reflections of the author’s concern in his criticism about life. The author critizes the existentialist who proposes that power is everything.

Keywords: Search for meaning, Memories of Midnight, Meaningful life, Existentialist approach.

 

 

 

 

 

 

  1. A.     Introduction

The meaning of life is the important things that can be changed from time to time and can be found in the real experiences of the daily life as a guideline from the human activities and made it the goal of life (Bastman, 1997:52). In a critical situation peoples can still be consistent to fin and create the meaning of life. However, in another situation people can fail in searching in meaningful life.

Frankl (Koeswara, 1987:43) extends about the failure of search for meaningful life, called as an existential frustration. It will cause the people to compensation in form of self-escape such as alcoholism, drug, sex, and gambling.

Searching of meaning of life does not always constitute the religion problem but it often constitutes the philosophy of life which have secular characteristic. Furthermore Frankl said that, “Human being can find the meaning of life, not only from religion or by realization of religious values but also from realization of human values included of creative value, aesthetic value, ethical value, and experiential value” (Koeswara, 1987:40-41). It means that human being finds or creates the meaning of life.

Frankl in Koeswara (1987:41) extends about the three ways that can make life meaningful. First, something is given to life (creative works). Second, something is taken from life including the beauty, truth and love. The last, an attitude is given to certainty of fate that could not be changed. From those there ways, the striving of man to reach the meaningful of life is very heavy. In fact, people always face various problems, one of them is to wage war against himself, it means that people must be able to control and manage himself.

Considering all of those, the writer is interested in conducting a study on a novel. One of them is novel written by Sidney Sheldon. He is an author who had produced several works in the form of novel. One of his novels is Memories of Midnight in 1990 by Warner Books Inc. New York with the amount of pages is 404 pages.

Memories of Midnight is a modern novel. The story is easy to understand because the language is simple and uses the simple grammatical structure. So it easy for the readers to understand the messages extended by an author. The message extended thought this work can be hampered because the author is well known yet by the society and also buying power of society is still low.

This study describes the search for meaningful life in Sidney Sheldon’s Memories of Midnight by giving limitation to her concern on the major character’s effort to create the meaningful life by employing Friedrich Wilhelm Nietzsche’s existentialist in perspectives as the primary approach. This is a reason of the writer to choose the title “The Search for Meaningful Life in Sidney Sheldon’s Memories of Midnight: An Existentialism Approach” for this research.

 

 

 

  1. B.     Literature Preview

As far as the researcher’s knowledge the study of Sidney Sheldon’s Memories of Midnight is not a new work. There are other studies conducted by other writers such as Paramita Indreswari, a Sebelas Maret university student who studied this novel in here research entitled “An Analysis of English Imperative Sentences in the Novel Memories of Midnight by Sidney Sheldon and their translation into Padang Baying Kelabu by Budijanto T. Pramono”.

Budi Kusumaningrum, a Muhammadiyah university of Surakarta student this novel uses Sociological perspective in her research entitled “The Impact of Secularized life in Sidney Sheldon’s Memories of Midnight: a Sociological Approach”.

 

  1. C.     Problem Statement

The problem statement to be discussed in this research is simply stated as follow: How the major character strives for meaningful life as reflected in Sidney Sheldon’s Memories of midnight?

 

  1. D.    Research Method

In analyzing Sidney Sheldon’s Memories of Midnight, the writer uses the type of the study, data source, method of data collection and technique of data analysis such as follows:

  1. Type of the study

The type of this study is qualitative.

  1. Data Source

In this study the writer defines the source of the data source and secondary data source:

  1. Primary data source

The research object of this study is taken from the text of Sidney Sheldon’s Memories of Midnight.

  1. Secondary data source

The secondary data source includes the books, which deal with the novel and the other materials that are relevant to support the analysis.

  1. Method of Data Collection

The methods data of data collection in this research used to collect data are both documentation by collecting and recording the primary and secondary data, and library research by summarizing, paraphrasing and wording. Some steps of collecting the data are:

  1. Reading the novel repeatedly.
  2. Taking notes of informant in both primary and secondary data.
  3. Analyzing data into several based on its classification.
  4. Developing the data provided.

 

  1. Technique of Data Analysis

The technique of data analysis in this research is descriptive. This is an interpretation of the text and context analysis to get characteristic at the data to existentialism analysis at the novel Memories of Midnight.

 

  1. E.     Discussion

Based on the existentialist analysis of Sidney Sheldon’s Memories of Midnight with the limitation of study based on Nietzsche’s principles of existentialist about the searching for meaningful life can be conclude that, Nietzsche proposes his perspective generally that the human’s life is meaningful if it fills three aspects namely: the will to power, the ubermensch and morality.

In Memories of Midnight Constain Demiris is a major character who has the will power as a treatment to reach the meaningful life. Demiris is reflected as a person who has an ambition to be a powerful man. Burdened by the suffering during his youth, his life is very poor and the business partner that causes his ambition raise ever deceives him. He feels his life is meaningful when he becomes a ruler of a fiefdom large and more powerful that many countries. He is one of two or three wealthiest men in the world and his influence is incalculable. Although he had no title or official position, he regularly buys and sells prime ministers, cardinal ambassadors and king. He will do everything to get the wealth and more to hold the power.

Nietzsche said (Arifin, 1987:54) someone’s life in meaningful if he is able to reach the ubermensch. It occurs in major character, who also finds the goal of his life by reaching the highest satisfaction and become the ubermensch. There are two requirements to reach the ubermensch namely; humans as creators must create and change the values system and must base on the own ability. In Memories of Midnight, major character determines his life by creating justice, values and roles by himself. He defied the rules of ordinary men. It done by himself because his life is filled by the feeling of hates and grudge in the past. So he must struggle and brave to commit the games of death.

The illustration of major character’s life seen from morality he categorized into the master morality. He reach the meaningful life with becomes a man who has master morality. He determines the own direction, brave to face his life, to hold the game of life and death manipulate the weak peoples for his importance. However in Memories of Midnight, Demiris reflected as a person who has a master morality, which able to take place his morality in the certain proportion. It mean that in his life, he cannot control his self-belong to control passion and the power ambition. He reach his meaningful life is just a moment. Uncontrolled his power and his self may lead one to failure in searching for meaningful life. In the last he is dead together with the destruction of his power.

  1. F.      Conclusion

Based on structural analysis and existentialist analysis of the novel Memories of Midnight with the limitation of study based on Nietzsche’s principle of existentialist about the search for meaningful life, which have been done on the preceding chapter, the researcher come to the conclusion. The conclusion is drawn to answer the problem statement of the study. It deals with how Demiris’s strive for meaningful life.

The literary work such as the novel is the media of expression the author uses to express the idea, feeling, thinking, imagination, experience and emotion. Like the novel Sidney Sheldon’s Memories of Midnight, the author tries to communicate his idea about human experience. He takes one issue in human life namely the meaning of life. Sheldon tries to expose the philosophical values human’s existence emphasized on searching for meaningful life. It is reflected on major character (Constantin Demiris). He is illustrated as a man who has a power that is used as a treatment to reach the meaningful life.

Based on the existentialist analysis deals with Memories of Midnight, searching of meaningful life becomes a focus of this study, how the major character strives for meaningful life is seen from Nietzsche’s principle of existentialist. Firstly, as occurred in Memories of Midnight, Constant in Demiris as the major character can reach his meaningful life by the will to power. Secondly, his life is meaningful because he is able to reach the meaningful life by having the master morality. As occurs in Memories of Midnight, Demiris has the master morality; however the author shows that Demiris is an unable to use his master morality and his power because he is unable control himself namely: his passion and ambition. He defies the rules and morality of ordinary man. In the last, he is destroyed together with the destruction of his power. He loses his meaningful life and loses his existence.

From the analysis above, can be conclude that the outcome of his study shows that the novel represents one of the important reflections of the author’s concern in his criticism about life. The author criticism Nietzsche existentialist who proposes that power is everything. According the author, power is unimportant, power is not everything, power is not satisfaction, power is meaningless, and power is nonsense if it not accompanied with the awareness of one self to control the power namely awareness for self-control of passion and ambition. In the phenomena of human’s life, many people want their life meaningful by using the power absolutely as a treatment to reach it. However, their unconsciousness about the controlled power may lead one to failure and destruction to themselves. That is why Sheldon critizes that condition.

 

 

BIBLIOGRAPHY

 

Arifin, Chairul. 1987. Kehendak Untuk Berkuasa: Friederich Nietzche. Jakarta: Erlangga

Bastman, Hanna Djumhana. 1997. Intregasi Psikologi dengan Islam (Menuju Psikologi Islam), Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Indreswari, Paramita. 1997. “An Analysis of English Imperative Sentences in the Novel Memories of Midnight by Sidney Sheldon and Their Translaltion Into Padang Bayang Kelabu by Budijanto T. Pramono”. Solo: UNS.

Koeswara, E. 1987. Psikologi Existential: Suatu Pengantar. Bandung: PT. Eresco.

Kusumaningrum, Budi, A Muhammadiyah University of Surakarta Student Who Studied This Novel Uses Sociological Perspective In Her Research Entiteld, The Impact of Secularized Life In Sidney Sheldon’s Memories of Midnight: A Sociological Approach. Surakarta: UMS.

Sheldon, Sidney. 1990. Memories of Midnight. New York: Warner Books. Inc.

Sunardi, ST. 1996. Nietzsche. Yogyakarta: LKis.

Soal Persamaan Differensial dan Penyelesaiannya

silahkan klik di sini untuk melihat

 

Sumber :

  1. SCHAUM’S OUTLINE OF THEORY AND PROBLEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SI METRIC UNITS.

Created by : FRANK AYRES, JR, PhD

  1. Paket : PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER

Pengarang :     1. Budi Murtiyasa

2. Rita P. Khotimah